Comenzó a estudiar piano desde muy pequeña con su madre, y en 1945, con sólo cuatro años de edad da su primer recital público. En su primer concierto formal a los ocho años de edad, interpretó el Concierto para piano opus 15 de Beethoven, y comenzó a estudiar con Vicente Scaramuzza, también maestro -entre otros- de Bruno Gelber.
En el año 1955 el Presidente argentino Juan Domingo Perón envió a su padre como agregado económico de la embajada en Viena para que Martha se asegurase la mejor educación musical posible. Allí estudió con Friedrich Gulda, y más tarde, en Ginebra, con Madeleine Lipatti y Nikita Magaloff.
Argerich ha contraído matrimonio tres veces: la primera con Robert Chen, padre de su hija mayor, Lyda. Desde 1969 a 1973 estuvo casada con el director de orquesta Charles Dutoit, que continúa haciendo grabaciones y conciertos con la pianista, y con quien tuvo a su segunda hija, Annie. Su tercer marido fue el pianista Stephen Kovacevich, padre de su tercera hija, Stephanie.
Uno de sus amigos más cercanos es el pianista brasileño Nelson Freire, que la acompaña frecuentemente en dúos de piano.
Argerich reside habitualmente en Bruselas.
En 1957, ganó dos prestigiosos concursos de piano con tres semanas de diferencia. Más tarde, en 1965 obtuvo el primer premio en el Concurso Internacional de Piano Frédéric Chopin, reconocida por sus interpretaciones de Chopin y Liszt.
En varios reportajes Argerich ha remarcado su sentimiento de soledad en el escenario durante la interpretación, y -quizá por ello- realizó muy pocos recitales de piano solista antes de 1980, enfocándose en conciertos para piano y orquesta, música de cámara y acompañamiento instrumental en sonatas.
Ha sido reconocida especialmente por sus interpretaciones de compositores clásicos del siglo XX, tales como Rachmaninov, Messiaen y Prokofiev. Una de sus grabaciones más notables reúne al Concierto para piano nº 3 de Rachmaninov con el Concierto para piano nº 1 de Tchaikovsky.
Obtuvo tres premios Grammy, en los años 2000, 2005 y 2006.
Cada año se lleva a cabo en el Teatro Colón de Buenos Aires, el Festival Martha Argerich, donde además de conciertos ofrecidos por músicos e interpretes de diferentes partes del mundo, se celebra el concurso de piano donde Argerich preside a menudo el Jurado.
